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由帶電導(dǎo)體所產(chǎn)生的電場(chǎng)問(wèn)題。由若干帶電導(dǎo)體組成一個(gè)帶電系統(tǒng)，這個(gè)帶電系統(tǒng)在空間中產(chǎn)生一個(gè)靜電場(chǎng)，如果每個(gè)帶電導(dǎo)體上的面電荷分布(由面電荷密度表示)已經(jīng)知道，通過(guò)第1章中我們已經(jīng)討論過(guò)的求面電荷的電場(chǎng)的方法，原則上可以由求曲面積分把這個(gè)電場(chǎng)唯一地確定出來(lái)，我們前面已經(jīng)講過(guò)，導(dǎo)體上的面電荷分布與很多因素有關(guān)，比如說(shuō)與導(dǎo)體的形狀，大小、各個(gè)導(dǎo)體之間的相對(duì)位置等都有關(guān)，面電荷分布一般是難以預(yù)先確定的，也無(wú)法從電荷的分布來(lái)確定帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)。

從一個(gè)方面來(lái)看，無(wú)需預(yù)先確定導(dǎo)體上的電荷分布，只要通過(guò)改變帶電導(dǎo)體的形狀、大小、導(dǎo)體之間的相對(duì)位置以及調(diào)整和控制各導(dǎo)體的電勢(shì)或各導(dǎo)體上的總電量，就可以得出我們所要求的各種空間電場(chǎng)，這里自然產(chǎn)生這樣一個(gè)回題除了由電荷分布能夠唯一地確定電場(chǎng)外，從靜電場(chǎng)遵守的普遍性質(zhì)——高斯定理和環(huán)路定理出發(fā)，通過(guò)給定各個(gè)導(dǎo)體的形狀、大小、導(dǎo)體之間的相對(duì)位置、各個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)或電量以及包圍電場(chǎng)空間的邊界面上的電勢(shì)后，能否保證由帶電導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)有唯一確定的解存在呢這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上涉及兩個(gè)方面一是符合兩條定理且滿足給定各個(gè)導(dǎo)體的形狀、大小、導(dǎo)體間的相對(duì)位置、各個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)或電量以及包圍電場(chǎng)空間的邊界面上的電勢(shì)條件(這些條件在電磁學(xué)中稱為邊界條件)的靜電場(chǎng)的解是否存在，即滿足邊界條件的靜電場(chǎng)解的存在性問(wèn)題二是如果靜電場(chǎng)解存在，它是否唯一，即解的唯一性問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是與已知邊界條件求靜電場(chǎng)解的問(wèn)題密切相關(guān)的，求邊界條件下的靜電場(chǎng)解的問(wèn)題是電動(dòng)力學(xué)中靜電學(xué)的典型問(wèn)題，并稱為靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。由于這個(gè)問(wèn)題的討論涉及太多數(shù)學(xué)問(wèn)題，也超出了普通物理電磁學(xué)部分的內(nèi)容，我們不作討論了關(guān)。于第二個(gè)問(wèn)題，即解的唯一性問(wèn)題，對(duì)本書(shū)中的許多問(wèn)題的理解都有很大關(guān)系，我們將盡量避開(kāi)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)要的討論。

關(guān)于在邊界條件下解的唯一性問(wèn)題，在電磁學(xué)中稱為唯一性定理。在由帶電導(dǎo)體組成的電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，唯一性定理可以簡(jiǎn)述如下：當(dāng)給定電場(chǎng)的邊界條件，即給定包圍電場(chǎng)空間的邊界面S(這個(gè)界面可以是距帶電系統(tǒng)無(wú)限遠(yuǎn)的閉合曲面，也可以是導(dǎo)體殼的內(nèi)表面)上的電勢(shì)Us，給定S面內(nèi)各導(dǎo)體的形狀、大小及各導(dǎo)體之間的相對(duì)位置，再給定下列兩條件之一∶

(1)S面內(nèi)每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)Ui;

(2)S面內(nèi)每個(gè)導(dǎo)體上的總電量qi。

其中i=1，2，…為導(dǎo)體的編號(hào)，則在以S為邊界面的電場(chǎng)空間內(nèi)滿足高斯定理和環(huán)路定理的靜電場(chǎng)解是唯一的。

下面我們來(lái)證明上述唯一性定理。

在對(duì)唯一性定理進(jìn)行正式證明之前，我們先證明一個(gè)重要在無(wú)電荷的空間里電勢(shì)不可能有極大值和極小值。

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